前些天讀了一本《選舉的困境》，其中有一章，從美國的選舉制度說起，介紹美國選舉制度的不足，然后針對其不足，提出種種改善，然而每種改善都有其各自的問題，其中的變化很有趣。

 

    先說美國選舉制度，美國的總統選舉是一種“贏者通吃”的方式，每個州根據其人口多少，有幾十或幾百的“州票”，州里的人對總統候選人進行選舉，在某個州獲得票最多的那個候選人，獲得這個州所有的“州票”，然后統計所有候選人的“州票”多少，獲得最多“州票”的候選人獲勝。

 

    這樣制度的問題是顯然的，比如如果只有兩個州，A州5個人，而B州4個人，州票也分別是5和4，如果某候選人X在A州以3:2獲勝，另一個候選人Y在B州以4:0獲勝，這樣顯然候選人Y在全國范圍內獲得了6張票，而候選人X只有在A州的3張票，但是由于“贏者通吃”，X獲得了A周的全部5張“州票”，Y只獲得了B周的4張“州票”，在全國只有1/3民眾支持的X居然獲得了選舉的勝利。

 

    這樣的情況在2000年美國總統選舉中就出現過，小布什的州票領先于戈爾，然而在全國民眾中統計支持戈爾的人數卻是大于小布什的，當然戈爾輸給小布什還有另一個原因，這里按下不表。

 

    如果放在算法領域，可以看出這里的問題在于，為了統計結果R(最適合的總統人選)，找到了一個特征A(每個民眾的投票)，而決定結果R的，卻不是特征A，而是由特征A推導出來的特征B(州票)，在特征A向特征B的推導過程中，信息丟失了(每個洲的支持百分比不一樣)。

 

    “贏者通吃”這種制度的具體歷史原因先不說，有興趣的朋友可以去看原著。解決這種問題的最直接方案就是從“贏者通吃”變成直選，也就是一人一票，直接統計票數，然而這樣也會遇到一系列問題。

 

    在談那一系列問題之前，先把要解決的問題抽象一下：

 

    有n個候選人，每個選民對這n個候選人投票，最終在n個候選人中選出最合適、最符合民意、也符合邏輯的那個人。

 

    方案1：一票制，每人一票，選出自己最喜歡的候選人，對結果進行統計，得票最多的那個人當選。

 

    這樣做的問題是會導致作者定義的一種“鷸蚌困局”，舉例說，如果有ABC三個候選人，其中BC政見比較類似，支持B的人也比較支持C，反之亦然，在全民中，喜歡BC的人占多數，A的政見和BC相反，支持A的人在全民中占少數。這樣導致的后果就是，BC獲得的票會比較分散，而A獲得的票比較集中從而獲得勝利，如果BC中有1人不參加選舉，票就會集中到B或者C一個人的手中，從而使多數選民的支持者當選。前面按下不表的戈爾失敗的另一個原因，就是有人認為有跟戈爾政見類似的耐德的參與，他分散了部分戈爾的選票。

 

    可以對此問題有所改善的方案叫做“二選制”。

 

    方案2：二選制，每人一票，如果無人獲得大于50%的支持，則將得票最高的兩個候選人拿出來，再進行一輪選舉，得票多的人獲勝。

 

    法國總統選舉就是這樣的二選制，但是這樣的方法只能改善“鷸蚌困局”，而不能徹底解決，2002年的法國總統大選就出現了類似的情況，當時支持左派政見的民眾較多，然而在二選制下，最終的前兩名卻是一個右派和一個極右派。出現這種情況的原因是當年有16個總統候選人，且多數是持左派政見者，這樣就導致左派的票極端分散。

 

    方案3：n選制，每人一票，如果無人獲得大于50%的支持，則去掉支持最少的候選人，再進行一輪投票，若依舊無人獲得大于50%的支持，再去掉得票最少的候選人，直到有人大于50%支持為止。

 

    2001年奧委會決定北京為2008年奧運會主辦城市的時候，就是用的這樣的制度，在第一輪投票里大阪被淘汰，北京在第二輪就獲得了半數以上的支持，從而當選。

 

    n選制的問題在于不實用，如果是奧委會這種只有幾百個人投票的情況還可以使用，如果類似前面法國總統選舉，有16個候選人，舉國上下最多可能進行15次投票，成本太高。

 

    方案4：即刻復選制，每個民眾對候選人進行排序，如果某個候選人獲得了50%以上的首選，則直接獲得勝利，否則淘汰票數最低的候選人，并且把票數最低候選人的得票中的第二候選人拿出來，分給對應的候選人，如果有人獲得50%以上，則當選，否則再淘汰一位最低的，并且把他票分給里面排序最高的且未被淘汰的候選人，如此往復。

 

    愛爾蘭總統選舉和倫敦市長選舉采用的是類似的方案，此方案也有問題，試想如此場景：選民共10人，中間派候選人是3人的首選，左派和右派的候選人分別是4人的首選，當然左派選民最討厭右派候選人，而右派選民也最討厭左派候選人，而左派右派的民眾對中間派候選人倒是都可以接受，不管是即可復選制還是n選制，中間派候選人都會在第一輪被淘汰。而中間派候選人則是全體民眾都可以接受的人，也最能調和各派之間矛盾，最和諧。

 

    這個方案的本質問題是，雖然每個選民可以對候選人排序，但是在第一輪的時候卻只考慮了第一選，沒有考慮選民的二、三選。

 

    方案5：上行復選制，跟方案4類似，只不過第一輪淘汰的不是支持最少，而是反對最多的候選人(獲得最多末選票的候選人)

 

    再看上面提到的情況，中間派候選人由于不是任何人的末選，所以第一輪淘汰的是左派或者右派，再第二輪選舉中，中間派的候選人就可以獲勝了。

 

    方案5也有方案5的問題，考慮這樣一種情況，只有兩個候選人AB參選，選民9人，其中6人喜歡A而討厭B，3人喜歡B而討厭A，無論按照之前的哪種方式，都會是A獲勝。但是現在又多了兩個候選人C和D，喜歡B的3人中，都是把A列在最后一個候選的，而喜歡A的6人的末選，卻是BCD各2票，這樣，在第一輪選舉中，A就由于獲得了最多的末選票被淘汰了，而通過精心的構造例子，完全可以使B最終當選。僅僅由于CD參選或者不參選，A和B之間的勝負關系就發生了大逆轉。

 

    實際使用此方案的例子不多，只有在公元前507年的雅典有類似的方案，不是讓民眾投支持票，而是投反對票，把反對最多的人投出局。

 

    方案6：多賽制，民眾對候選人排序，然后候選人之間兩兩pk，統計每一張選票上看候選人A在候選人B前面還是B在A前面，如此找到獲勝場次最多的候選人來贏得選舉。

 

    這樣的問題是可能導致循環勝負，如ABC三個候選人，有3個民眾，投票分別是ABC，BCA，CAB，可以看出AB之間A獲勝兩次，A>B；BC之間B獲勝兩次，B>C，AC之間C獲勝兩次，C>A，這樣就構成了一個A>B>C的循環。這個是不是有點像足球聯賽的記分制啊，如果積分相同，足球比賽中可以再看凈勝球、進球、勝負關系等，但是作者并沒有在這個方面進行展開，而是介紹了另一種方式：博達制。

 

    方案7：博達制，民眾對候選人排序，假如有n個候選人，第一位的候選人得n分，第二位得n-1分，以此類推，然后統計每個候選人的總分，獲得最多分的獲勝。

 

    有人對博達制的批評是：可能有選民會利用這種方式進行作弊(投“策略票”)，最支持B的候選人本來心目中的排序是B>A>C，但是由于相對A，他們還是更喜歡B，因此，為了把B拉上來，就得把A拉下去，他們的投票就變成了B>C>A。博達對此批評的回應是：我的制度只適用于誠實的投票者。

 

    而這本書的作者卻認為博達制的“策略票”問題沒那么嚴重，如果無法準確預測民意和精確控制策略票的投法，有可能因為用力過猛，不但把A拉下來了，反而讓C獲得的支持票增加，這樣就使得最支持B的那些人的“策略票”反而使得他們最討厭的C當選了，當年在IMDB上就發生過類似一幕：

 

    電影《蝙蝠俠6》上映后，蝙蝠俠的粉絲們覺得這部片太酷了，于是就想把蝙蝠俠6投成IMDB第一位，于是他們瘋狂的給蝙蝠俠6打高分，而同時，也紛紛的給當時的IMDB第一《教父》投低分，導致的結果就是用力過猛，教父變成了第三名，原來的第二肖申克的救贖(TSR)變成了第二(原來的第二是排在教父后面，新的第二是排在蝙蝠俠6后面)，而后來，隨著瘋狂粉絲的熱情消退，理性的意見占據了上風，蝙蝠俠6的得分逐漸下降，跌到了第10。而教父還是在肖申克的救贖后面，很久沒有回去了。

 

    博達制是否有其他問題呢？

 

    以上只是對這本書第14章的一個筆記，也僅僅針對“多候選人單職位”問題進行了討論，書的后面還會對“多候選人多職位”的情況繼續探討，也就是根據每個人對候選人的排序，來決定最終的候選人排序。

 

    回到搜索引擎領域來，如上策略的變遷會給我們一些啟示，先看看之前抽象出來的問題：

 

    有n個候選人，每個選民對這n個候選人投票，最終在n個候選人中選出最合適、最符合民意、也符合邏輯的那個人。

 

    這很像搜索引擎在解決的問題：

 

    系統里有n個網頁，有m個特征(頁面質量、頁面內容豐富度、頁面超鏈、文本相關性等)對n個網頁有不同的打分，如何根據這些特征的“投票”，選出最適合放在第一位的網頁呢？

 

    從選舉的例子中，我們可以得到的幾個啟示：

 

    1.設計算法時，要避免出現“贏者通吃”帶來的信息丟失問題。

 

    2.不要因為某幾個特征特別好，就把某個網頁排到最前，或者因為某幾個特征特別差，就把某個網頁拋棄。

 

    3.最合適放在首位的網頁不一定是在每個特征上都最好，而應該是能夠兼顧所有特征，綜合表現最好的那個。

 

    4.搜索引擎使用者對搜索結果的點擊行為，可以看成是對搜索結果進行的“投票”，這樣的“投票”信息的使用方式，也要注意考慮是否會帶來選舉過程中出現的種種不合理。

 

    以上提到的種種選舉方案，僅僅是對“多候選人單職位的”的情況進行討論，而搜索引擎面對的問題，則更類似于“多候選人排序”的情況，也即：

 

    系統里有n個網頁，有m個特征(頁面質量、頁面內容豐富度、頁面超鏈、文本相關性等)對n個網頁有不同的打分，如何根據這些特征的“投票”，決定n個網頁的順序？

 

    而這個“多候選人排序”問題，是有一個“不可能的民主”的理論的，該理論的大意是，“合理”的民主應該滿足3個條件：

 

    1.如果選民都認為A比B好，那么最終結果應該也是A比B好

 

    2.沒有“獨裁者”，也即，不存在這樣一個人，無論別人怎么排序，最終結果的排序都和這個人的排序一致

 

    3.無關因素獨立性，也即，在第一次投票完成后，A排在B前面，現在進行第二次投票，如果所有人都沒有改變自己投票中A和B的相對順序，那最終結果應該也是A在B前面

 

    而通過數學的證明，可以得出結論：如果某種選舉方式滿足條件1和3，則必然不滿足2，也即必然存在“獨裁者”，這個問題的證明，可以參考這篇博客：http://roba.rushcj.com/?p=509

 

    根據“不可能的民主”理論，和搜索引擎結合起來看，似乎搜索引擎很難給出一個合理的網頁排序，但是搜索引擎和投票又似乎有所不同，有兩個角度可以破解

 

    1.認為條件3過于強，需要弱化。